5) Medyan

• Bir veri setini büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıraladığımızda tam orta noktadan veri setini iki eşit parçaya ayıran değere medyan adı verilir.
• Veri setinde aşırı uçlu elemanlar olduğunda aritmetik ortalamaya göre daha güvenilirdir.
• Medyan, veri setindeki tüm elemanlardan etkilenmez.
• Birim sayısındaki değişmelerden etkilenir, uç değerlerden etkilenmez.
• Medyanın standart hatası, aritmetik ortalamanınkinden daha büyüktür.

Basit Seriler İçin Medyan

• Veri Setinin Hacmi Tek Sayı İse;



nci gözlem değeri medyandır.




Örnek: İstatistik I dersini alan 10 öğrencinin vize notları aşağıdaki gibi sıralanmıştır. Buna göre vize notları için medyan değerini hesaplayınız.

30,42,56,61,68,79,82,88,90,98

n/2 ve (n/2)+1 nci elemanlar 68 ve 79 olup bunların ortalaması 73,5 medyan değeridir.

Veri Seti 30,42,56,61,68,79,82,88,90 şeklinde 9 adet veriden oluşsaydı (n+1)/2 nci eleman olan 68 veri setinin medyanı olacaktı.

Gruplanmış Seriler İçin Medyan

• Gruplanmış serilerde medyan değeri hesaplanırken veri setinin tam orta noktasının hangi gruba ait olduğunu belirlemek için kümülatif frekans sütunu oluşturulur.
• Sıra numarası belirlendikten sonra o sıra numarasına ait grup medyan değeri olarak ifade edilir.

Sınıflanmış Seriler İçin Medyan

• Sınıflanmış serilerde medyan değeri hesaplanırken ilk olarak medyan sınıfı belirlenir.
• Medyan sınıfı kümülatif frekanslar dikkate alındığında toplam frekansın yarısını içinde bulunduran sınıftır.
• Medyan sınıfı belirlendikten sonra medyan sınıfından bir önceki sınıfın kümülatif frekansı ve medyan sınıfı frekansı dikkate alınarak hesaplanır.

(Bu video da yardımcı olacaktır.)

6) Kartiller

•Bir veri setini büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıraladığımızda dört eşit parçaya ayıran üç değere kartiller adı verilir.

•İlk % 25’lik kısmı içinde bulunduran 1. Kartil (Q1), % 50’lik kısmı içinde bulunduran 2. Kartil (Q2), % 75’lik kısmı içinde bulunduran 3. Kartil (Q2), olarak adlandırılır.

•%50’lik kısmı içinde bulunduran 2. Kartil (Q2) aynı zamanda veri setinin medyanıdır.

Basit Seriler İçin Kartiller

Örnek: İstatistik I dersini alan 10 öğrencinin vize notları aşağıdaki gibi sıralanmıştır. Buna göre vize notları için Q1 ve Q3 değerlerini hesaplayınız.

Gruplanmış Seriler İçin Kartiller

• Gruplanmış serilerde kartiller hesaplanırken veri setinin ilk çeyrek ve son çeyrek kısmını tam olarak ifade etmek amacıyla kümülatif frekans sütünü oluşturulur.
• Gruplanmış serilerde örnek hacminin tek veya çift olduğuna bakılmaksızın n/4 ncü eleman 1.Kartil (Q1), (3n)/4 ncü eleman ise 3. Kartil (Q3), olarak ifade edilir.

Sınıflanmış Seriler İçin Kartiller

• Sınıflanmış serilerde kartiller hesaplanırken ilk olarak kümülatif frekans sütunu oluşturularak kartil sınıfları belirlenir.
• Kartil sınıfları belirlenirken gruplanmış serilerde olduğu gibi n/4 ve (3n)/4 ncü sıralardaki elemanların hangi sınıflara ait iseler o sınıflar kartil sınıfları olur.
• Kartil sınıfları belirlendikten sonra bu sınıflardan bir önceki sınıfın kümülatif frekansı ve mevcut sınıf frekansı dikkate alınarak kartil değerleri hesaplanır.

ÖZET

KAYNAKLAR

Daha geniş bilgi için    http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:J5aZW-EeZn8J:kisi.deu.edu.tr/hamdi.emec/tan%25C4%25B1mlay%25C4%25B1c%25C4%25B1_istatistikler.ppt+&cd=3&hl=tr&ct=clnk&gl=tr  yararlanabilrsiniz.

Videolar için ;

•  https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=-SXTI9xerG8
• https://img2.blogblog.com/img/video_object.png
• https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=z_C4A04Z_3E
• https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=W7GzM9ByYdY
• https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=3ziKM4XV0v8
• 
  

4) Mod

• Bir veri setinde en çok gözlenen ( en çok tekrar eden ) değere veya frekansı en fazla olan şans değişkeni

değerine mod adı verilir.

• Veri setinin modu olmayacağı gibi birden fazla da modu olabilir.

• Mod genellikle kesikli şans değişkenli için oluşturulan gruplanmış serilerde aritmetik ortalama yerine kullanılabilir.

Basit Seriler İçin Mod

Örnek: Bir fabrikada çalışan 5 endüstri mühendisinin bildiği yabancı dil sayıları aşağıda verilmiştir. Buna göre bu mühendislerin bildiği yabancı dil sayısının modunu hesaplayınız.

xi : 2,0,1,2,0,1,0                              0,0,0,1,1,2,2.

Veri setinde en çok tekrar eden eleman 0 olduğundan (3 kez ) mod değeri 0 ‘dır.

• Eğer veri seti 1,0,1,2,0,1,0 şeklinde olsaydı veri seti iki modlu olacaktı. ( 0 ve 1 )

• Eğer veri seti 2,0,1,2,0,1 şeklinde olsaydı veri setinin modunun olmadığı ifade edilecekti.

Gruplanmış Seriler İçin Mod

Örnek: Aşağıdaki tabloda bir Samsung bayisindeki LCD
televizyonların ekran boyutlarına göre satış miktarları verilmiştir.

Frekans dağılımının modunu hesaplayınız.

 • Frekans dağılımına bakıldığında en fazla satış miktarı 94 ekran LCD televizyonda olduğundan dolayı ( 7 adet ) dağılımın modunun 94 olduğu söylenir.

• Eğer 82 ekran LCD televizyonlarından da 7

adet satılsaydı dağılımın iki modu olduğu ifade

                                   edilirdi. ( 82 ve 94 )

Sınıflanmış Seriler İçin Mod

• Sınıflanmış serilerde mod değeri hesaplanırken ilk olarak mod sınıfı belirlenir.

• Mod sınıfı frekansı en yüksek olan sınıftır.

• Mod sınıfı belirlendikten sonra bu sınıf içerisinde yer alan modun tam değeri sınıf frekansı ve kendine komşu olan sınıf frekansları dikkate alınarak hesaplanır.

Örnek:2 Aşağıdaki tabloda 30 günlük süre içinde bir restoranın
kullandığı et miktarının dağılımı verilmiştir. Günlük kullanılan et

miktarının modunu hesaplayınız.

3) Harmonik Ortalama

• Bir veri setinde bulunan n adet elemanın çarpma işlemine göre terslerinin ortalamasının tersinin alınmasıyla elde edilen yer ölçüsüdür. Genellikle basit seriler için kullanışlıdır.ü

    Harmonik Ortalama’nın Kullanım Alanları

• Belirli fiyat tipleri,

• Zaman serileri,  için kullanışlıdır.

Örnek: Zaman birimi başına hız, para birimi başına satın alınan birim sayısı.

Harmonik Ortalamanın Özellikleri

1. Harmonik ortalama aşağı eğilimlidir. olmalıdır.

2. ARİTMETİK ORT. > GEOMETRİK ORT. > HARMONİK ORT.

Örnek: Bir tekstil fabrikasında çalışan dört kişinin bir pantolonu ütüleme süreleri aşağıda verilmiştir. Buna göre bu fabrikada bir pantolon ortalama kaç dakikada ütülenir?

           İşçi 1: 10 dk     İşçi 2: 6 dk.     İşçi 3: 4 dk. İşçi 4 : 5 dk.

( Bu video da yardımcı olacaktır.)

2) Geometrik Ortalama

• Bir veri setinde bulunan n adet elemanın çarpımının n nci dereceden kökünün alınmasıyla elde edilen yer

ölçüsüdür.

• Geometrik ortalamanın formülüne bakıldığında hesaplama zorluğu olduğundan dolayı logaritma ifadesi kullanılır. Genellikle basit seriler için kullanışlı olup negatif sayılar için kullanışlı değildir.

Geometrik Ortalama’nın Kullanım Alanları

• Ortalama oranları,

• Değişim Oranları,

• Logaritmik dağılış gösteren veri setleri, için kullanışlıdır.

      Örnek: fiyat indeksleri, faiz formülleri.

Geometrik Ortalamanın Özellikleri

1. x>0 olmalıdır.

2.Serideki değerlerin her birinin yerine geometrik ortalama konulduğunda serinin çarpım sonucu değişmez.

2.4.8.16.32 = 32768 = 8.8.8.8.8

3.Geometrik ortalamanın orijinal gözlemlerinin logaritmik sapmaları eşittir. Bu özellikten dolayı ortalama oranlara, değişme oranlarına, logaritmik dağılmış şekiller uygulanır. Örneğin; fiyat indekslerinde geometrik ortalama anlamlı sonuçlar verir.

4.Aritmetik ortalama gerçekte nispi olan değerler yerine mutlak değerlenmiş gibi bir işleme bağlı tutularak çok artan nispi değerleri olduğundan fazla gösterir. Bu yüzden yukarı eğilimlidir.

5.Logaritmik bir dağılımda geometrik ortalamanın tercih nedeni böyle bir dağılımda mutlak sapmaların değil ancak merkezi eğilim etrafında nispi sapmaların simetrik olma eğilimidir.

6.G birimleri değerleri arasındaki orana göre değer alır.

7.Uç değerlerden aritmetik ortalama kadar etkilenmez.

    Örnek: Bir alışveriş merkezindeki 5 farklı meyvenin satış fiyatı aşağıdaki gibidir. Buna göre meyvelerin satış fiyatlarının geometrik ortalamasını hesaplayınız.

                           Elma: 1,5 YTL. Üzüm: 2,5 YTL Erik: 1 YTL

                              Muz : 3 YTL. Armut : 2 YTL.

(Bu video da yardımcı olacaktır.)

MERKEZİ EĞİLİM

ÖLÇÜLERİ

         Gözlenen verinin düzenlenerek çizelgelerle, grafiklerle sunulması çoğu kez yeterli olmaz . Genel durumu yansıtacak bir takım ölçülere gereksinim vardır. Bu ölçüler verileri yalnızca özlü bir biçimde belirtmekle kalmazlar aynı zamanda karşılaştırmalara, genellemelere, yorumlamalara olanak sağlarlar. Burada nicel değişkenlere ilişkin ölçüler incelenecektir. Nicel dağılımlarda kullanılacak ölçüler dağılımın odaklaşma noktasını özetlemelidir. Bu tür ölçülere merkezi eğilim ölçüleri denir.

      Tanımlayıcı istatistikler, bir gruba ait belirli değişkenlerin değerleri hakkında bilgiyi özetleyen ölçütlerdir:

1- Merkezi eğilim ölçütleri (dağılımın yer gösteren ölçütleri)

2- Yayılma ölçütleri (dağılımın yaygınlık ölçütleri)

3-Dağılımın şekil ölçütleri

      Çok çeşitli olan (merkezi eğilim ölçüleri) ortalamalardan en önemlileri:

• Aritmetik ortalama (mean)

• Ağırlıklı aritmetik ortalama

• Geometrik ortalama

• Harmonik ortalama

• Kuadratik ortalama

• Mod

• Medyan

• Kartiller

1) Aritmetik Ortalama

• Üzerinde inceleme yapılan veri setindeki elemanların toplanıp incelenen eleman sayısına bölünmesiyle elde edilen yer ölçüsüne aritmetik ortalama denir.

• Halk dilinde ortalama ifadesi kullanıldığında ilk akla gelen kavram aritmetik ortalamadır.

• Örnek:

– Sınav notlarının ortalaması,

– Yaz aylarında m2’ye düşen ortalama yağış miktarı

Aritmetik ortalamanın özellikleri:

1. Örnek elemanları (ortalama) etrafında toplanma eğilimdedir yani örneği en iyi temsil eden tek bir simetrik değerdir.

2.Örnek elemanlarının aritmetik ortalamadan sapmaları kareleri toplamı minimumdur.

    

        Örnek: Aşağıdaki tabloda 30 günlük süre içinde bir restoranın kullandığı et miktarının dağılımı verilmiştir. Günlük kullanılan et miktarının aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

(Bu video da yardımcı olacaktır.)